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考研数学临考温馨提示

在《考研数学临考温馨提示(一)》中，笔者以真题为考生串知识点，我们讨论了双扭线、旋转体体积以及定积分与变限积分。在本文中我们说说考研数学认的难点——级数，看看这一块的真题给我们什么提示。

一、正项级数的敛散性

我们先看一道90后的真题(96-3)。这是一道抽象级数敛散性判断的题。有同学总对抽象级数怀有“敬畏”之心，觉得不具体、难处理。其实，抽象级数只是样子吓人，还是用具体级数那些知识判断。

以选项A 为例，已知两个级数收敛，结论是另一个级数收敛。首先看所给级数是什么类型的级数。因为选项涉及的级数的一般项都有平方，所以均为正项级数。我们自然想到正项级数的判别法——比较、比值和根值法。优先考虑比较法，考虑条件和结论中的级数的一般项有无大小关系。级数的项有平方，所以考虑均值不等式。得到一般项之间的大小关系后，再由比较判别法不难得出结论。

判断正项级数的敛散性，主要利用正项级数的判别法，不管级数是以具体级数还是以抽象级数的面目出现。

二、推广的p-级数

常数项级数敛散性判断是有可能考难题的。有时“难”并不表现为难以选出正确答案，而是选出答案后拿不准：想不清楚为什么对，为什么错。下面我们要讨论的这道04年数学一的题，选出正确答案并不难，但是想清楚为什么是需要费一番周折的，举反例需用到推广的p-级数。具体讨论如下：

首先不少同学会遇到一个问题：每个选项中出现的极限怎么用?意味着什么?这个问题不难解决：把n或n^2拿到分母上即可。以选项A为例，变形后的极限意味着an为1/n的高阶无穷小。

越过第一道障碍后，要选出正确答案并不难。注意到选项B的表述正好满足“同阶同敛散”，故正确。实际上，选项B是来自同济版高数教材上的原定理。

也有同学在越过第一道障碍后，对选项A，直接利用正项级数的比较判别法——“大收敛推小收敛”，得出结论。这就中了命题老师的招了。该选项形似“大收敛推小收敛”，实则不是。正确翻译后应为：“大发散推小收敛”。首先这个推理是不成立的。如果举反例，需要把推广的p-级数搬出来，如an=1/(nlnn)满足选项A的条件，但以它为一般项的级数发散。

此道真题提醒考生：若题目已知一个正项级数的敛散性，说它必和某p-级数对应。这时举反例应请出推广的p-级数。

历年真题凝聚着命题专家的心血，考生用心体会，必能获益良多。