一、矩形、菱形、正方形的性质

1.矩形的性质

①具有平行四边形的一切性质;

②矩形的四个角都是直角;

③矩形的对角线相等;

④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴;

⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.菱形的性质

①具有平行四边形的一切性质;

②菱形的四条边都相等;

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;

④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴;

⑤菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。

3.正方形的性质

正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质

①边：四边相等，对边平行;

②角：四个角都是直角;

③对角线：互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度;

④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为 ( )

A.360 B.90

C.270 D.180

例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED=1：3，AB=6cm，求AC的长。

例3 如图， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分 ∠BAD，∠AOD=120° ，求∠AEO 的度数。

例4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。

例5 如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由.

二、矩形、菱形、正方形的判定

1.矩形的判定

①有一个内角是直角的平行四边形是矩形;

②对角线相等的平行四边形是矩形;

③有三个角是直角的四边形是矩形;

④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

2.菱形的判定方法

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;

③四条边都相等四边形是菱形;

④对角线垂直平分的四边形是菱形。

3.正方形的判定

①菱形+矩形的一条特征;

②菱形+矩形的一条特征;

③平行四边形+一个直角+一组邻边相等。

说明一个四边形是正方形的一般思路是：先判断它是矩形，在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形，再判断这个菱形也是矩形。

例1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，并交于点E，连续EC、AD。

求证：四边形ADCE是矩形。

例2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，ED⊥BC，DF//AB.

求证：AD与EF互相垂直平分。

例3.已知如图，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。

求证：四边形CDEF是菱形。

三、矩形、菱形、正方形

与函数综合题

1.利用矩形、菱形、正方形的知识解决函数问题;

2.利用函数知识解决矩形、菱形、正方形的问题;

例1.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=(k>0，x>0)的图象上，点D的坐标为(4，3).

(1)求k的值;

(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=(k>0，x>0)的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离。

例2.如图，点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为______.

例3 已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.

(1)若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长;

(2)若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D(2，m)(m<2)在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式。

四、矩形、正方形的翻折

1.从翻折中找出对称轴，利用对称性找相等关系。

2.利用相等关系建立方程解决问题。

例1 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F.若CF=1，FD=2，则BC的长是( )

A.3√6 B.2√6

C.2√5 D.2√3

例2 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为(　　)

A.1或2 B. 2或3

C.3或4 D. 4或5

例3 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE对折，A点恰好落在对角线BD上的点F处。延长AF，与CD边交于点G，延长FE，与BA的延长线交于点H，则下列说法：①△BFH为等腰直角三角形;②△ADF≌△FHA; ③∠DFG=60°;④DE=2-√2;⑤S△AEF=S△DFG.其中正确的说法有(　)

A.1个　　B.2个

C.3个　D.4个

例4 四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H。

(1)如图1，猜想AH与AB有什么数量关系?并证明。

(2)如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长。

五、综合运用

1.计算。利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形进行计算。

2.证明。利用矩形、菱形、正方形的性质和判定，结合全等三角形、等腰三角形、等边三角形的知识展开证明。

3.探究。利用矩形、菱形、正方形等知识展开探究。

例1 在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上.

(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由.

(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长.

(3)如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由。

例2 现有两个具有一个公共顶点的等腰直角三角形△ADE和△ABC，其中∠ACB和∠AED=90°，且AC=BC，AE=DE，CF⊥AB于F，M为线段BD中点，连接CM，EM.

(1)如图1，当A、B、D在同一条直线上时，若AC=1，AE=2，求FM的长度;

(2)如图1，当A、B、D在同一条直线上时，求证：CM=EM;

(3)如图2，当A、B、D在同一条直线上时，请探究CM，EM的数量关系和位置关系，请先给出结论，然后证明。

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