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不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识点，但也是学生很难掌握牢固的内容。今天小编主要给大家分享考研数学高数不等式证明方法，希望对你们有帮助!
 

考研数学高数不等式证明方法
 

利用微分中值定理：微分中值定理在高数的证明题中是非常大的，在等式和不等式的证明中都会用到。当不等式或其适当变形中有函数值之差时，一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，当不等式或其适当变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时，可考虑用柯西中值定理证明。
 

利用定积分中值定理：该定理是在处理含有定积分的不等式证明中经常要用到的理论，一般只要求被积函数具有连续性即可。基本思路是通过定积分中值定理消去不等式中的积分号，从而与其他项作大小的比较，进而得出证明。
 

除此之外，最常用的方法是左右两边相减构造辅助函数，若函数的最小值为0或为常数，则该函数就是大于零的，从而不等式得以证明。
 

考研数学不等式常用的证明方法
 

一、利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理。思路为：
 

(1)将所证明的不等式变形，使其一端变为或者的形式;
 

(2)若在(1)中其一端出现的形式，则对函数在区间上使用拉格朗日中值定理;若在(1)中其一端出现的形式，则对函数，在区间上使用柯西中值定理;
 

(3)根据中值定理中得到的的关系式及的取值范围，推出所证不等式。
 

二、利用单调性证明不等式。思路为：
 

(1)构造辅助(一般方法是移项，使不等式一端为零，另一端为所构造的辅助函数)。
 

(2)利用单调性判定定理，判定 在所讨论范围内的单调性。
 

(3)求在所讨论范围内的某个端点的函数值或极限值，从而推出不等式。
 

三、利用最大值或最小值证明不等式。思路为：
 

(1)构造辅助函数(一般方法是移项，使不等式一端为零，另一端为所构造的辅助函数)。
 

(2)求在所讨论范围I上的最大值或最小值。
 

(3)若在区间I上的最大值为M，则;若在区间I上的最小值为m，则。
 

四、利用泰勒公式证明不等式。思路为：
 

(1)将函数在适当的点展开成比的最高阶导数低一阶的泰勒公式。
 

(2)根据已知条件所给的最高阶导数的取值范围，对展开式进行放缩。
 

考研高数中不等式有哪些证明方法
 

1、利用函数的单调性证明不等式
 

利用单调性证明不等式是高等数学中一种最常用的方法，使用范围非常广。主要思路是将所证明的不等式做一些适当或必要的变形后，构造适当函数F (x ) 及区间[a , b ]，利用导数确定函数在区间内的单调性。如果一阶导数不能确定函数的单调性是，再利用高阶导数来判断函数的单调性。
 

下面来看一道典型例题：
 

例1 证明：当x >0时，ln(1+x )
 

证明：构造函数F (x ) =ln(1+x ) -x ，则F '(x ) =
 

调减少，则F (x ) 0时，F '(x )
 

类似可证明：当x >0时，e >1+x .这两个不等式是经常会使用到的，同学们务必牢记。
 

2、利用函数的最值证明不等式
 

利用函数的最大值、最小值证明不等式是一种比较特殊的方法，主要利用连续函数的最大值最小值定理或利用导数求出函数的最值。具体思路是求出函数f (x ) 在给定区间内的最大值M 、最小值m ，则函数在该区间内满足m ≤f (x ) ≤M 。 
 

例2 证明：11+
 

则F '(x ) =1+1x -ln(1-x ) -=-ln(1-x ) ，当x
 

00，F (x ) 单调递增，所以x =0是F (x ) 的极小值点，也是最小值点.又F (0)=0，故F (x ) >F (0)(∀x >1且x ≠0) ，即x +ln(1-x ) >x ln(1-x ) . 又x ln(1-x )
 

3、利用函数的凸凹性证明不等式
 

分按定义和依据定理两种请况证明不等式，具体如下：
 

(1)如果要证明的不等式中包含形如f ?x 1+x 2?1?、2[f (x 1) +f (x 2)]的项，那么往往可以找?2?到合适的函数，并利用该函数的凸凹性证明不等式。
 

例3 已知x >0，y >0且x ≠y ，证明：x ln x +y ln y >(x +y ) ln x +y . 2
 

1>0，从而可知F (x ) x (x ) =1+l n x ，F "(x ) = 证明：构造函数F (x ) =x ln x ，(x >0) ，则F '
 

在x >0时是凹的.所以由凹函数的性质可得，F (x ) +F (y ) x +y >F () ，即22
 

x ln x +y ln y >(x +y ) ln x +y . 2
 

0(2)利用定理：设f (x ) 在[a , b ]上二阶可导，若f ''(x 0) >0，则f (x ) ≥f (x ) 0f +(' x () x 0x ) -，
 

等号成立当且仅当x =x 0;若f ''(x 0)
 

例4 设f (x ) 在[0,1]上二阶可导且f "(x ) >0，证明：?1
 

01f (x 2) dx ≥f () . 3
 

证明：因为f "(x ) >0，所以有f (x ) ≥f () +f '()(x -) ，于是 1
 

31313
 

111f (x 2) ≥f () +f '()(x 2-) ，两边同时在[0,1]上积分得， 333
 

?1
 

0111111f (x 2) dx ≥f () +f '() ?(x 2-) dx ，即?f (x 2) dx ≥f () 033303