初三数学：圆的经典练习题合集

类型一、切线的性质

【例题1】如图，已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，

过点C作CE⊥AB，交⊙O于点E，垂足为点D.

(1)求证：∠PCB=∠BAC;

(2)过点B作BM∥PC交⊙O于点M，交CD于点N，连接AM.

①求证：CN=BN;

②若cosP = 4/5 , CN = 5 , 求AM的长.

例题1图

【参考答案】

(1) 证明：如解图1所示，连接OC，交BM于点F.

解图1

∵PC是⊙O的切线，

∴OC⊥PC.

∴∠PCO=90°.

∴∠PCB+∠BCO=90°.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°.

∴∠ACO+∠BCO=90°.

∴∠PCB=∠ACO.

∵OC=OA，

∴∠ACO=∠BAC.

∴∠PCB=∠BAC.

(2)

例题1图

①证明：

∵BM∥PC，

∴∠CBM=∠PCB.

∵CE⊥AB，

∴︵BC=︵BE.

∴∠BAC=∠BCE.

∵∠PCB=∠BAC，

∴∠BCE=∠PCB=∠CBM.

∴CN=BN.

②解：

例题1图

∵BM∥PC，

∴∠MBA=∠P.

∴cos∠MBA=cosP=4/5.

在Rt△BDN 中，

cos∠MBA=BD/ BN=4/5，BN=CN=5，

∴BD=4.

∴CD=CN+ND=8.

在Rt△OCD 中，设OC=r，

则OD=OB-BD=r-4.

由勾股定理，得OC2=OD2+CD2，

即r2=(r-4)2+8^2.

解得r=10.

∴AB=2r=20.

∵AB是直径，

∴∠AMB=90°.

在Rt△ABM 中，cos∠MBA=BM/ AB =4/ 5，AB=20，

∴BM=16.

类型二、切线的判定与性质综合——双切线模型

【例题2】如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为点C，交⊙O于点A，

连接PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D.

(1)求证：PA是⊙O的切线;

(2)若tan∠BAD=2/ 3，且OC=4，求BD的长.

例题2图

【参考答案】

解：

(1) 如解图1所示，连接OB，则OA=OB.

图片

解图1

∵OP⊥AB，

∴AC=BC.

∴OP是AB的垂直平分线.

∴PA=PB.

在△PAO和△PBO中，

∴△PAO≌ △PBO ( SSS ).

∴∠PAO=∠PBO.

∵PB为⊙O的切线，B为切点，

∴∠PBO=90°.

∴∠PAO=90°，即PA⊥OA.

∴PA是⊙O的切线.

(2) 如解图2所示，连接BE.

解图2

在Rt△AOC 中，

tan∠BAD=tan∠CAO=OC/ AC=2/ 3，且OC=4，

∴AC=BC= 6 .

∵PA⊥OA，OP⊥AB，

∴∠PAC+∠OAC=90°.

∴∠ACP=∠OCA=90°，∠PAC+∠APC=90°.

∴∠APC=∠OAC.

∴△PAC∽△AOC.

∴ PC/ AC=AC/ OC，即PC/ 6 =6/ 4 .

解得PC=9.

∴OP=PC+OC=13.

解图2

在Rt△PCB 中，由勾股定理得，

∵AC=BC，OA=OE，

∴OC为△ABE的中位线.

∴BE=2OC=8，OC∥BE

.∴△DBE∽△DPO .

∴BD/ PD = BE / PO ,

类型三、切线的判定与性质综合——切割线模型

【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上一点，

过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，

其中∠FDE=∠DCE.

(1)求证：DF是⊙O的切线;

(2)若D是AC的中点，∠A=30°，BC=4，求DF的长.

例题3图

【参考答案】

(1)证明：如解图1所示，连接BD.

解图1

∵∠ACB=90°，点B，D在⊙O上，

∴BD是⊙O的直径.

又∵ ∠BDE=∠BCE，∠FDE=∠DCE，

∴∠BDE+∠FDE=∠BCE+∠DCE，即∠BDF=∠ACB=90°.

∴DF⊥BD.

又∵BD是⊙O的直径，

∴DF是⊙O的切线.

(2)解：

解图1

∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，

∴AB=2BC=8.

∵点D是AC的中点，

∴AD=CD=1/2AC=2√3.

∵BD是⊙O的直径，

∴∠DEB=90°.

∴∠DEA=180°-∠DEB=90°.

∴DE=1/2AD=1/2× 2√3=√3. (∠A= 30°)

解图1

在Rt△BCD 中，

在Rt△BED 中，

∵∠FDE=∠DCE，∠DCE=∠DBE，

∴∠FDE=∠DBE.

∵∠DEF=∠BED=90°，

∴△FDE∽△DBE.

∴DF/ BD = DE / BE , 即DF/ 2√7 = √3 / 5 ,

∴DF=2√21/ 5 .

类型四、三切线模型

【例题4】如图，AB是⊙O的直径，AB⊥BD，AC与⊙O相切于点A，点E为⊙O上一点，

且AC=CE，连接CE并延长交BD于点D.

(1)求证：CD为⊙O的切线;

(2)连接AD，BE交于点F，⊙O的半径为2，当点F为AD中点时，求BD的长.

例题4图

【参考答案】

(1)证明：如解图1，连接OC，OE.

解图1

∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，

∴∠OAC=90°.

在△ACO和△ECO中，

∴△ACO≌ △ECO ( SSS ).

∴∠OEC=∠OAC=90°.

∴OE⊥DC.

∴CD为⊙O的切线.

(2)解：如解图2所示，连接OF，AE，过点F作FG⊥BD于点G.

解图2

∵AB⊥BD，

∴∠ABD=∠FGD=∠FGB=90°.

∴FG∥AB.

∴∠ABF=∠BFG.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=∠FGB=90°.

∴△ABE∽△BFG.

∴AB/ BF =BE/ FG .

解图2

∵点F为AD中点，O为AB中点，

∴OF∥BG.

易证四边形OFGB是矩形.

∴FG=OB=2.

∵AB是⊙O的直径，AB⊥BD，

∴BD是⊙O的切线.

由(1)知CD是⊙O的切线，

∴DB=DE.

∴∠DEB=∠DBE.

∵∠ABD=90°，点F为AD中点，

∴BF=FD.

∴∠DBE=∠FDB.

∴∠FDB=∠DEB.

解图2

又∵ ∠FBD=∠DBE，

∴△FBD∽△DBE.

∴BF/ BD=BD/ BE .

∴BD2=BF·BE.

设BF=a，BD=n.

∵△ABE∽△BFG，

∴AB/ BF = BE / FG ,

∴4/ a = BE / 2 ,

∴BE= 8 / a ,

∵BD2=BF·BE，

∴n2=a· 8 / a .

∴n2=8.

∴n=2√2( 负值舍去).

∴BD的长为2√2.